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1. O quadrado tem 4 simetrias de reflexão e 4 simetrias de rotação.

Porque tem 4 Simetrias de Reflexão?

As simetrias de reflexão correspondem ao número de eixos de simetria. Um eixo de simetria é uma linha reta imaginária que divide a figura em duas metades que são o "espelho" uma da outra. Se pudesses dobrar o papel por essa linha, as duas metades do quadrado iriam sobrepor-se perfeitamente.

No quadrado, consegues desenhar exatamente 4 linhas com esta característica:

ü  1 eixo vertical: corta o quadrado a meio, de cima para baixo.

ü  1 eixo horizontal: corta o quadrado a meio, da esquerda para a direita.

ü  2 eixos diagonais: unem os cantos opostos do quadrado (um a unir o canto superior esquerdo ao inferior direito, e outro a unir o canto superior direito ao inferior esquerdo).

Porque tem 4 Simetrias de Rotação?

A simetria de rotação refere-se ao número de vezes que a figura "encaixa" ou coincide com o seu desenho original enquanto dá uma volta completa de 360° em torno do seu próprio centro.

Como o quadrado é perfeitamente regular, cada vez que o rodas um quarto de volta, ele volta a ter exatamente o mesmo aspeto. Se o fores rodando devagar até completar uma volta inteira, ele vai sobrepor-se à posição inicial em 4 momentos:

ü  Rodando 90° (1/4 de volta)

ü  Rodando 180° (meia-volta)

ü  Rodando 270° (3/4 de volta)

ü  Rodando 360° (volta completa, regressando à posição exata de partida)

2. O retângulo tem 2 simetrias de reflexão e duas simetrias de rotação.

Porque tem 2 Simetrias de Reflexão?

Um retângulo tem 2 simetrias de reflexão porque só há 2 eixos que o dividem em duas metades iguais:

ü  um eixo vertical ao centro;

ü  um eixo horizontal ao centro.

Se dobrares o retângulo por qualquer um desses dois eixos, as metades coincidem.

Ele tem 2 simetrias de rotação porque volta a coincidir consigo próprio em:

ü  180°;

ü  360°.

Ou seja, uma meia-volta já o deixa igual, e uma volta completa também.

Porque tem 2 Simetrias de Rotação?

A simetria de rotação é o número de vezes que a figura volta a "encaixar" exatamente na mesma posição enquanto dá uma volta completa de 360° à volta do seu centro. Se imaginares um retângulo deitado e o começares a rodar:

ü  Aos 90° (um quarto de volta), ele fica "em pé", o que não coincide com a posição original "deitada".

ü  Aos 180° (meia-volta), ele volta a encaixar na perfeição com o desenho original (basicamente fica virado de pernas para o ar, mas como os lados opostos são iguais, o aspeto é exatamente o mesmo).

ü  Aos 270° (três quartos de volta), volta a ficar "em pé".

ü  Aos 360° (volta completa), regressa à sua posição de partida, encaixando de novo.

Como ele coincide consigo mesmo apenas aos 180° e aos 360°, dizemos que tem 2 simetrias de rotação.

 3. O paralelogramo  tem 0 simetrias de reflexão e 2 simetrias de rotação.

Porque tem 0 simetrias de reflexão?

A simetria de reflexão exige que, ao dobrares a figura ao meio, as pontas batam exatamente uma na outra.

ü  Se dobrares ao meio (vertical ou horizontal): devido à inclinação dos lados, os cantos "fogem" para os lados opostos e não coincidem.

ü  Se dobrares na diagonal: ao contrário do que acontece num quadrado, as diagonais de um paralelogramo comum não são eixos de simetria; as pontas vão acabar em sítios diferentes.

Porque tem 2 Simetrias de Rotação?

A simetria de rotação acontece quando a figura roda em torno do seu centro e volta a "encaixar" no seu próprio contorno antes de dar uma volta completa.

Imagina que colocas um pionés no centro exato do paralelogramo e começas a rodá-lo:

• Aos 90° (um quarto de volta), ele fica "em pé" ou atravessado, não coincidindo com o desenho original.
• Aos 180° (meia-volta), acontece a magia. Como os lados opostos do paralelogramo são paralelos e do mesmo tamanho, ao darmos exatamente meia-volta, a ponta que estava no canto superior direito passa para o canto inferior esquerdo. A figura volta a encaixar na perfeição com o contorno original!
• Aos 270° (três quartos de volta), volta a ficar atravessado.
• Aos 360° (volta completa), regressa exatamente à posição de partida, encaixando pela segunda vez.

Como a figura coincide consigo mesma em duas posições diferentes durante esta volta (aos 180° e aos 360°), dizemos que tem 2 simetrias de rotação.

4. O triângulo isósceles tem 1 simetrias de reflexão e 0 simetrias de rotação.

Porque tem 1 Simetria de Reflexão?

Como vimos, a simetria de reflexão procura aquela linha mágica onde podemos dobrar a figura e as duas metades são um espelho perfeito.

No triângulo isósceles, só conseguimos fazer esta dobragem perfeita numa única direção:

ü  1 eixo vertical: Se desenhares uma linha reta a descer exatamente do "bico" de cima (onde os dois lados iguais se encontram) até ao meio da base, divides o triângulo em duas metades perfeitamente iguais. Ao dobrar por essa linha, o lado esquerdo sobrepõe-se exatamente ao lado direito.

2. Porque tem 0 Simetrias de Rotação?

Uma simetria de rotação acontece quando rodamos a figura e ela fica igual antes de completar a volta inteira.

Imagina que colocas um pionés no centro do triângulo isósceles e começas a rodá-lo:

ü  Como ele tem um "bico" apontado para cima e uma base plana em baixo, assim que o começas a rodar, o bico começa a apontar para o lado. A figura deixa imediatamente de coincidir com o seu contorno original.

ü  Aos 90°, aos 180° (onde fica virado de pernas para o ar) ou aos 270°, o triângulo nunca volta a encaixar na mesma posição.

ü  Ele tem de dar a volta completa, até aos 360°, para o bico voltar a apontar para cima e encaixar na posição inicial.

Como ele só coincide consigo mesmo na posição de partida (uma rotação trivial), dizemos que não tem nenhuma simetria de rotação válida para este contexto, ou seja, tem 0 simetrias de rotação.

 5. O pentágono regular tem 5 simetrias de reflexão e 5 simetrias de rotação.

Porque tem 5 Simetrias de Reflexão?

Num pentágono regular, todos os lados e ângulos são iguais, e isso faz com que haja uma simetria associada a cada vértice e a cada “meia distância” entre vértices. Por isso, ele tem 5 simetrias de reflexão e 5 simetrias de rotação.

ü  Como o pentágono tem 5 vértices, consegues traçar exatamente 5 linhas que passam por cada vértice e cortam a figura a meio.

ü  Se dobrares o pentágono por qualquer um destes 5 eixos, a metade direita e a metade esquerda vão sempre ser um espelho perfeito uma da outra, sobrepondo-se sem sobrar nenhum milímetro. Por isso, tem 5 simetrias de reflexão.

Porque tem 5 Simetrias de Rotação?

A regra para as simetrias de rotação em polígonos regulares é simples: o número de simetrias de rotação é igual ao número de lados.

No caso do pentágono regular, como tem 5 lados, dividimos  por 5:

Isso significa que a figura coincide consigo própria a cada 72°:

ü  72°.

ü  144°.

ü  216°.

ü  288°.

ü  360°.

Por isso, dizemos que o pentágono regular tem 5 simetrias de rotação.

Num polígono regular, o número de simetrias de rotação é igual ao número de lados.
Como o pentágono regular tem 5 lados, , e ele volta a coincidir consigo próprio de 72° em 72°. Assim, tem 5 simetrias de rotação.