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1. O quadrado tem 4 simetrias de reflexão e 4 simetrias de rotação.

Porque tem 4 Simetrias de Reflexão?

As simetrias de reflexão correspondem ao número de eixos de simetria. Um eixo de simetria é uma linha reta imaginária que divide a figura em duas metades que são o "espelho" uma da outra. Se pudesses dobrar o papel por essa linha, as duas metades do quadrado iriam sobrepor-se perfeitamente.

No quadrado, consegues desenhar exatamente 4 linhas com esta característica:

ü  1 eixo vertical: corta o quadrado a meio, de cima para baixo.

ü  1 eixo horizontal: corta o quadrado a meio, da esquerda para a direita.

ü  2 eixos diagonais: unem os cantos opostos do quadrado (um a unir o canto superior esquerdo ao inferior direito, e outro a unir o canto superior direito ao inferior esquerdo).

Porque tem 4 Simetrias de Rotação?

A simetria de rotação refere-se ao número de vezes que a figura "encaixa" ou coincide com o seu desenho original enquanto dá uma volta completa de 360° em torno do seu próprio centro.

Como o quadrado é perfeitamente regular, cada vez que o rodas um quarto de volta, ele volta a ter exatamente o mesmo aspeto. Se o fores rodando devagar até completar uma volta inteira, ele vai sobrepor-se à posição inicial em 4 momentos:

ü  Rodando 90° (1/4 de volta)

ü  Rodando 180° (meia-volta)

ü  Rodando 270° (3/4 de volta)

ü  Rodando 360° (volta completa, regressando à posição exata de partida)

2. O retângulo tem 2 simetrias de reflexão e duas simetrias de rotação.

Porque tem 2 Simetrias de Reflexão?

Um retângulo tem 2 simetrias de reflexão porque só há 2 eixos que o dividem em duas metades iguais:

ü  um eixo vertical ao centro;

ü  um eixo horizontal ao centro.

Se dobrares o retângulo por qualquer um desses dois eixos, as metades coincidem.

Ele tem 2 simetrias de rotação porque volta a coincidir consigo próprio em:

ü  180°;

ü  360°.

Ou seja, uma meia-volta já o deixa igual, e uma volta completa também.

Porque tem 2 Simetrias de Rotação?

A simetria de rotação é o número de vezes que a figura volta a "encaixar" exatamente na mesma posição enquanto dá uma volta completa de 360° à volta do seu centro. Se imaginares um retângulo deitado e o começares a rodar:

ü  Aos 90° (um quarto de volta), ele fica "em pé", o que não coincide com a posição original "deitada".

ü  Aos 180° (meia-volta), ele volta a encaixar na perfeição com o desenho original (basicamente fica virado de pernas para o ar, mas como os lados opostos são iguais, o aspeto é exatamente o mesmo).

ü  Aos 270° (três quartos de volta), volta a ficar "em pé".

ü  Aos 360° (volta completa), regressa à sua posição de partida, encaixando de novo.

Como ele coincide consigo mesmo apenas aos 180° e aos 360°, dizemos que tem 2 simetrias de rotação.

 3. O paralelogramo  tem 0 simetrias de reflexão e 2 simetrias de rotação.

Porque tem 0 simetrias de reflexão?

A simetria de reflexão exige que, ao dobrares a figura ao meio, as pontas batam exatamente uma na outra.

ü  Se dobrares ao meio (vertical ou horizontal): devido à inclinação dos lados, os cantos "fogem" para os lados opostos e não coincidem.

ü  Se dobrares na diagonal: ao contrário do que acontece num quadrado, as diagonais de um paralelogramo comum não são eixos de simetria; as pontas vão acabar em sítios diferentes.

Porque tem 2 Simetrias de Rotação?

A simetria de rotação acontece quando a figura roda em torno do seu centro e volta a "encaixar" no seu próprio contorno antes de dar uma volta completa.

Imagina que colocas um pionés no centro exato do paralelogramo e começas a rodá-lo:

• Aos 90° (um quarto de volta), ele fica "em pé" ou atravessado, não coincidindo com o desenho original.
• Aos 180° (meia-volta), acontece a magia. Como os lados opostos do paralelogramo são paralelos e do mesmo tamanho, ao darmos exatamente meia-volta, a ponta que estava no canto superior direito passa para o canto inferior esquerdo. A figura volta a encaixar na perfeição com o contorno original!
• Aos 270° (três quartos de volta), volta a ficar atravessado.
• Aos 360° (volta completa), regressa exatamente à posição de partida, encaixando pela segunda vez.

Como a figura coincide consigo mesma em duas posições diferentes durante esta volta (aos 180° e aos 360°), dizemos que tem 2 simetrias de rotação.

4. O triângulo isósceles tem 1 simetrias de reflexão e 0 simetrias de rotação.

Porque tem 1 Simetria de Reflexão?

Como vimos, a simetria de reflexão procura aquela linha mágica onde podemos dobrar a figura e as duas metades são um espelho perfeito.

No triângulo isósceles, só conseguimos fazer esta dobragem perfeita numa única direção:

ü  1 eixo vertical: Se desenhares uma linha reta a descer exatamente do "bico" de cima (onde os dois lados iguais se encontram) até ao meio da base, divides o triângulo em duas metades perfeitamente iguais. Ao dobrar por essa linha, o lado esquerdo sobrepõe-se exatamente ao lado direito.

2. Porque tem 0 Simetrias de Rotação?

Uma simetria de rotação acontece quando rodamos a figura e ela fica igual antes de completar a volta inteira.

Imagina que colocas um pionés no centro do triângulo isósceles e começas a rodá-lo:

ü  Como ele tem um "bico" apontado para cima e uma base plana em baixo, assim que o começas a rodar, o bico começa a apontar para o lado. A figura deixa imediatamente de coincidir com o seu contorno original.

ü  Aos 90°, aos 180° (onde fica virado de pernas para o ar) ou aos 270°, o triângulo nunca volta a encaixar na mesma posição.

ü  Ele tem de dar a volta completa, até aos 360°, para o bico voltar a apontar para cima e encaixar na posição inicial.

Como ele só coincide consigo mesmo na posição de partida (uma rotação trivial), dizemos que não tem nenhuma simetria de rotação válida para este contexto, ou seja, tem 0 simetrias de rotação.

 5. O pentágono regular tem 5 simetrias de reflexão e 5 simetrias de rotação.

Porque tem 5 Simetrias de Reflexão?

Num pentágono regular, todos os lados e ângulos são iguais, e isso faz com que haja uma simetria associada a cada vértice e a cada “meia distância” entre vértices. Por isso, ele tem 5 simetrias de reflexão e 5 simetrias de rotação.

ü  Como o pentágono tem 5 vértices, consegues traçar exatamente 5 linhas que passam por cada vértice e cortam a figura a meio.

ü  Se dobrares o pentágono por qualquer um destes 5 eixos, a metade direita e a metade esquerda vão sempre ser um espelho perfeito uma da outra, sobrepondo-se sem sobrar nenhum milímetro. Por isso, tem 5 simetrias de reflexão.

Porque tem 5 Simetrias de Rotação?

A regra para as simetrias de rotação em polígonos regulares é simples: o número de simetrias de rotação é igual ao número de lados.

No caso do pentágono regular, como tem 5 lados, dividimos  por 5:

Isso significa que a figura coincide consigo própria a cada 72°:

ü  72°.

ü  144°.

ü  216°.

ü  288°.

ü  360°.

Por isso, dizemos que o pentágono regular tem 5 simetrias de rotação.

Num polígono regular, o número de simetrias de rotação é igual ao número de lados.
Como o pentágono regular tem 5 lados, , e ele volta a coincidir consigo próprio de 72° em 72°. Assim, tem 5 simetrias de rotação.

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Simetria Central

Simetria Central

Simetria de reflexão

Uma simetria de reflexão ou uma simetria axial é uma transformação geométrica em que uma figura é refletida, ou "espelhada", através de uma linha, chamada eixo de simetria. 

As principais características de uma simetria de reflexão ou axial são:

• Aparência de espelho: O eixo de simetria funciona como um espelho. Se dobrasse a figura ao longo deste eixo, as duas metades sobrepor-se-iam perfeitamente.
• Divisão em partes iguais: O eixo de simetria divide a figura em duas metades que são imagens espelhadas uma da outra.
• Manutenção das distâncias: Cada ponto da figura original está à mesma distância do eixo de simetria que o seu ponto correspondente na figura refletida

Um bom exemplo é o de uma borboleta, em que o seu corpo é o eixo de simetria e as suas asas são as imagens refletidas. 

Outros exemplos incluem:

Quadrado: Possui quatro eixos de simetria de reflexão. Dois eixos são as retas que ligam os pontos médios dos lados opostos. Dois eixos são as diagonais.

Losango: Possui dois eixos de simetria de reflexão. Ambos os eixos são as suas diagonais.

Letras do alfabeto: Algumas letras, como 'A', 'M' e 'T', têm simetria de reflexão vertical. Outras, como 'B' e 'C', têm simetria de reflexão horizontal.

• Matemática dos azulejos

• Simetria de Reflexão

• Simetria de reflexão em figuras

Simetria de rotação

Sólidos geométricos:simetria de rotação (vídeo) Simetrias de rotação (Geogebra)

Simetrias de rotação (Geogebra)    Simetria de rotação em rosáceas (Geogebra)          

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Palavras cruzadas - Figuras no Espaço (conceitos)

Figuras no Espaço – Conceitos Básicos

Na geometria espacial, estudamos figuras que existem em três dimensões, chamadas de sólidos geométricos. São objetos que ocupam espaço e possuem características como:

• Vértices: pontos onde as arestas se encontram.

• Arestas: segmentos de reta que ligam os vértices.

• Faces: superfícies planas que formam o sólido.

Entre os sólidos mais comuns temos os prismas, cubos, pirâmides, cilindros e esferas.

·       O Prisma possui as seguintes propriedades:
- Tem sempre duas bases iguais;
- O número de faces laterais é igual ao número de lados da base;
- O número de arestas é o triplo do número de lados da base;
- O número de vértices é igual ao dobro do número de lados da base;

·       A Pirâmide possui as seguintes propriedades:
- Só tem uma base;
- O número de faces laterais é igual ao número de lados da base;
- O número de arestas é o dobro do número de lados da base;
- O número de vértices é mais 1 que o número de lados da base;

A relação de Euler é uma fórmula matemática que relaciona o número de vértices (V), arestas (A) e faces (F) de um poliedro convexo. A fórmula é:

V+F= A+2

Palavras cruzadas - Figuras no plano (conceitos)

Soma do ângulos internos e externos do triângulo (Geogebra)

A soma dos ângulos externos de um triângulo (vídeo)

Ângulos, paralelismo e perpendicularidade nas retas (vídeo)

Relação entre ângulos internos e externos de um triângulo

A relação entre os ângulos internos e os ângulos externos de um triângulo baseia-se em duas propriedades fundamentais da geometria plana.

1ª. Ângulos internos e externos adjacentes

Cada vértice de um triângulo é vértice de um ângulo interno e de um ângulo externo adjacente. Esses dois ângulos são suplementares, ou seja, a soma das suas amplitudes é sempre 180°:

Ângulo interno + Ângulo externo adjacente= 180º

2ª. Teorema do ângulo externo

Segundo o teorema do ângulo externo, a amplitude de um ângulo externo é igual à soma das amplitudes dos dois ângulos internos não adjacentes a ele:

Ângulo externo= Soma dos dois ângulos internos não adjacentes

• A soma dos três ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°.

• A soma dos três ângulos externos (um em cada vértice) é sempre 360°, ou seja, um ângulo giro.

$$\hat{\text{A}}\text{ngulo externo}=\text{Soma dos dois }\hat{\text{a}}\text{ngulos internos n}\tilde{\text{a}}\text{o adjacentes}$$