Problema: Escalas e Áreas

A janela do quarto do Artur tem as dimensões indicadas na figura. O Artur desenhou no seu caderno a janela do seu quarto na escala de 1:20. Que área do seu caderno ocupa o desenho da janela?

1,00 m = 100 cm    e  1,30 m = 130 cm


1/20= x/100     x= (1x100):20 = 5 cm ( altura da janela no caderno)
1/20= x/130     x= (1x130):20 = 6,5 cm ( comprimento da janela no caderno)
Area do retângulo = b x a       A= 6,5 cm x 5 cm = 32,5 cm2

Problema: perímetros

Calcula o perímetro da figura sabendo que os elementos A, B e C são quadrados, com as seguintes áreas:
A= 25 cm2 ; B= 49 cm2 e C= 9 cm2

PA= 5 cm ( 5cm x 5 cm ) ; PB= 7 cm ( 7 cm x 7 cm ) e PC= 3 cm ( 3cm x 3 cm )
Perímetro da figura=  3 x 5cm + 3 x 3cm + 4cm + 2 x 7 cm + 2cm= 44 cm

Problema: Perímetro

O Sr. Silva tem um terreno quadrado, com 729 m2 de área. Será que 105 m de rede são suficientes para vedar todo o terreno?Justifica a tua resposta.


Área do quadrado = lxl
Área do quadrado = 729 m2

A = 27 x 27 = 729 m2 (quadrado perfeito)

lado do quadrado = 27 m
Perímetro do quadrado = 4 x 27=108 m
Resposta: Não, são necessários mais 3 metros de rede.

Escalas

O Timóteo foi visitar um amigo a Penafiel. A distância de entre a sua casa e Penafiel é de 63 Km. O Timóteo apressou-se a consultar um mapa e constatou que no mapa a distância entre a sua casa e Penafiel era de 6 cm. Qual era a escala do mapa? 

63km= 6300000

1/x=6/6300000

x= 6300000:6

x=1050000

Resposta: A escala é 1: 1 050 000

Percentagens

O  Timóteo  comprou uma camisa e um par de calças de loja da Srª Albertina decidiu fazer a seguinte promoção: Quanto pagou o  Timóteo pelas duas peças de roupa, atendendo à promoção realizada na loja da Srª Albertina? 

80% x 70€ = 56€ ( calças )

70% x 50€ = 35€ ( camisa)

56€ + 35€ =  91€

Pagou 91€ pelas duas peças

Divisores de um número

O professor de Matemática do Timóteo, Tibúrcio, Tobias e Teotónio apresentou o número A como um produto de factores primos e perguntou: “ quantos divisores tem o número A? ”. As respostas dos quatro amigos foram as seguintes:  

Timóteo: tem 6 divisores;  Tibúrcio: tem 3 divisores;  

Tobias: tem 8 divisores;  Teotónio: tem 4 divisores.

Qual dos amigos tem razão? 

O Tobias, porque A=30

D30={1,2,3,5,6,10,15,30}

Triângulos: ângulos internos e externos

Observa a figura:

Calcula x e y. Apresenta todos os cálculos. 


x= 180º - 134º
x= 46º
y= 180º - (75º+46º)
y= 59º

Problema: Perímetros e Áreas

A figura representa uma sala.

À volta de todas as paredes foi colocado um rodapé com o  custo de 3 euros o metro linear.  Quanto custou o rodapé? 

Perímetro da figura= 3m+2x1m+2x2,5m+2x8m= 26m

26m x 3€= 78 €

A sala foi pavimentada com parquet de madeira ao custo de 30 euros o metro quadrado. Quanto se gastou no pavimento da sala?

Área A= 3 m x 4 m = 12 m2
Área B=2,5 m x 3 m = 7,5 m2
Área C= 2,5 m x 4 m = 10 m2
Atotal= (12+7,5+10)m2=29,5 m2
29,5m2 x 30€= 885€
R: Gastou-se 885€ na pavimentação da sala.

Problema: Áreas e Perímetros

Observa a figura:
Calcula o perímetro do quadrado e do círculo, sabendo que o raio do círculo é 23 mm. Apresenta o valor em cm.

diâmetro= 2 x 23 mm= 46 mm= 4,6 cm
Perímetro do quadado= 4 x 4,6 cm=18,4 cm ( o quadrado tem os lados todos iguais)
Perímetro do círculo= 3,14 x diâmetro= 3,14 x 4,6 cm= 14,44 cm
Calcula a área colorida.
Área do quadrado = 4,6 cm x 4,6 cm = 21,16 cm2
Área do círculo= 3,14 x 2,3 cm x 2,3 cm=16, 61 cm2
Área colorida = 21,16 cm2 - 16,61 cm2=4,55 cm2

A subtração é a operação inversa da adição (revisão)

Se â soma de dois números subtrairmos um deles, obtemos o outro.

Identidade Fundamental da Subtração (revisão)

O ADITIVO é igual à soma do SUBTRATIVO com a DIFERENÇA

ADITIVO = SUBTRATIVO + DIFERENÇA

PROBLEMA:

RESOLUÇÃO:

? - 23 = 65

?= 23 + 65

?= 88 

Resposta: Tinha 88 cromos

Problema: m.m.c

Um monte de folhas de papel tem menos de 50 folhas. 1/7 são azuis, 1/3 são amarelas, 1/2 são vermelhas e as restantes pretas. Qual o número de folhas pretas?

Explicação: vamos calcular o número de folhas de papel possíveis de existir. 

m.m.c(2,3,7)= 42 (42 é múltiplo de 2,3 e de 7).

1/7 x 42 = 6 folhas     ;  1/3 x 42 = 14 folhas    ; 1/2 x 42 = 21 folhas

folhas pretas = 42 - (6+14+21) = 42 - 21= 1

Resposta: 1 folha preta.

Exercício de revisão: Estatística

Numa determinada região foram recolhidas 1440 joaninhas para analisar cada uma das espécies existentes, através do número de pintas. O gráfico circular ao lado refere-se à distribuição do número de pintas das 1440 joaninhas.

1. A frequência absoluta das joaninhas com 7 pintas é: (A frequência absoluta de um acontecimento é o nº de vezes que esse acontecimento se repete)

A) 464    B) 500    C) 144    D) 360

A resposta é: A) 464 joaninhas

x= 1440x116º/360º

2. A frequência relativa das joaninhas com 6 pintas, aproximada a menos de uma milésima por defeito, é:(A frequência relativa de um acontecimento é o quociente da frequência absoluta desse acontecimento pelo nº. total de elementos em estudo)

A)0,277   B) 0,278   C) 0,276    D) 0,275

Resposta: 0,277 

360º-(116º+96º+48º)= 100º

x= 1440 x100/360º    x= 400 joaninhas com 6 pintas

Frequência relativa= 400/1440 = 0,277....

Tarefa: Interpretação de gráficos

Clica na imagem ou aqui

Sequência numérica

Diz-se que um conjunto de números forma uma sequência numérica quando existe uma regra ou uma “lei de formação” que, a partir de alguns números, permite descobrir outros.

Termos da sequência são os números de uma sequência.
Ordem representa a posição em que se encontra o termo
CONSIDERA A SEQUÊNCIA:
Indica:
· Termo de ordem 2? 3
· Termo de ordem 5? 9
· Termo de ordem n? 2n-1
A expressão 2n-1 gera a sequência 1, 3, 5, 7, …
A expressão geradora da sequência é 2n-1 ( termo geral)
O termo geral é a expressão que nos permite determinar qualquer termo da sequência, conhecendo a sua posição na sequência.
Atividade 1:Qual das expressões:

A. n+6 B. 6 x n + 1 C. 4 x n + 3 te pemite determinar um termo qualquer da sequência: 7,11,15,19,23,27,...? R: 4 x n + 3
Qual é o vigésimo termo desta sequência? R: 83 ( 4 x 20 + 3 = 83 )

Sequências e regularidades

Sequência de números é uma lista ordenada de números.

Os números que formam a sequência designam-se por termos da sequência.

Tarefa 1.Rapazes e raparigas

O João resolveu construir uma sequência de imagens no seu computador, colando dois tipos de “bonecos”: Continua a sequência.
Se construirmos uma sequência com 15 rapazes, quantas raparigas haverá? Uma sequência com 10 raparigas, quantos rapazes terá?
Tarefa 2. Árvores que crescem...

A Joana está a tentar encontrar uma forma de construir uma árvore para o concurso “Árvores que crescem…” que se vai realizar na sua escola no dia da Árvore. Observa como ela está a pensar construir a sua árvore, acrescentando um triângulo diariamente.

Segunda-feira Terça-feira Quarta-feira

Constrói a árvore do dia seguinte da Joana.
Constrói a árvore que ela terá no domingo. Quantos triângulos terá a sua árvore?
A sua irmã decidiu continuar a construção da Joana até sábado seguinte. Com quantos triângulos ficou a árvore?

Tarefa 3. Pulseiras coloridas
A Camila e as suas amigas compraram missangas roxas, amarelas e azuis para fazerem pulseiras. A venda das pulseiras destina-se a obter fundos para ajudar o lar de idosos da sua região. Ajuda a Camila a concluir a construção da sua pulseira, sabendo que ainda tem 5 missangas roxas, 3 amarelas e 10 azuis. Usou as missangas todas? Porquê?

Constrói tu uma pulseira, usando missangas roxas, amarelas e azuis. Apresenta-a aos teus colegas.

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Frisos

A isometria presente em todos os frisos é a translação, isto é, considera-se que o friso é infinito e que uma translação aplica o padrão sobre si próprio.

Mas o friso também pode ter outras isometrias ( resultantes de rotações, de reflexões ou de reflexões deslizantes). Existem apenas sete tipos possíveis de frisos. Alguns exemplos:

TranslaçãoReflexão horizontal

Rotação de 180º

Reflexão vertical seguida de horizontal

Padrões

Padrão é a repetição de forma regular de uma figura inicial, denominada o motivo do padrão, obedecendo a uma determinada disposição que caracteriza esse padrão.Os padrões classificam-se em dezassete tipos diferentes, cada um deles relacionado com um grupo de simetria. Esta classificação é feita atendendo aos tipos de simetria que cada padrão contém. Alguns exemplos:

Escher e as simetrias

Mauritus Cornelis Escher, nasceu em Leeuwarden na Holanda em 1898, faleceu em 1970 e dedicou toda a sua vida às artes gráficas. Na sua juventude não foi um aluno brilhante, nem sequer manifestava grande interesse pelos estudos, mas os seus pais conseguiram convencê-lo a ingressar na Escola de Belas Artes de Haarlem para estudar arquitetura. Foi lá que conheceu o seu mestre, um professor de Artes Gráficas judeu de origem portuguesa, chamado Jesserum de Mesquita. Com o professor Mesquita, Escher aprendeu muito, conheceu as técnicas de desenho e deixou-se fascinar pela arte da gravura. Este fascínio foi tão forte que levou Mauritus a abandonar a Arquitectura e a seguir as Artes Gráficas. Quando terminou os seus estudos, Escher decide viajar, conhecer o mundo! Passou por Espanha, Itália e fixou-se em Roma, onde se dedicou ao trabalho gráfico. Mais tarde, por razões políticas muda-se para a Suíça, posteriormente para a Bélgica e em 1941 regressa ao seu país natal.
Estas passagens por diferentes sítios, por diferentes culturas, inspiraram a mente de Escher, nomeadamente a passagem por Alhambra, em Granada, onde conheceu os azulejos mouros. Este contato com a arte árabe está na base do interesse e da paixão de Escher pela divisão regular do plano em figuras geométricas que se transfiguram, se repetem e refletem, pelas pavimentações. Porém, no preenchimento de superfícies, Escher substituía as figuras abstrato-geométricas, usadas pelos árabes, por figuras concretas, perceptíveis e existentes na natureza, como pássaros, peixes, pessoas, répteis, etc.

Simetria de reflexão e simetria de rotação
Simetria rotacional
clica aqui e explora a simetria noutros trabalhos de Escher.

Simetria de rotação ou rotacional

Uma figura tem simetria de rotação de centro O e medida de amplitude x se o transformado da figura pela rotação é a própria figura.Uma rosácea é uma figura com um número finito de simetrias de rotação. Pode ter também simetrias de reflexão.
Existem dois tipos de rosáceas - as Cíclicas e as Diedrais. As primeiras não têm eixos de simetria enquanto as segundas têm pelo menos um eixo de simetria. As rosáceas cíclicas, que possuem apenas simetrias de rotação; As rosáceas diedrais, que possuem simetrias de rotação e simetrias de reflexão, em igual número.
Rosáceas (atividade scratch): clica aqui

ISOMETRIAS - Reflexão, rotação e translação

A isometria tem sido usada pelo Homem nas suas criações desde os tempos mais primitivos. Povos antigos utilizaram figuras geométricas como elementos decorativos e, com o desenvolvimento das civilizações, as figuras adquiriram disposições mais complexas. Surgiram assim os ornamentos com repetições de uma mesma figura geométrica, tais como rosáceas, frisos ou pavimentações. Os azulejos do palácio de Alhambra (Espanha) são uma referência mundial,bem como os trabalhos do artista gráfico holandês Maurits Cornelis Escher (1898-1972).
DEFINIÇÃO - Uma Isometria é uma transformação geométrica em que são conservados as medidas de comprimento dos segmentos de reta e as medidas de amplitude dos ângulos.
Isometria é uma palavra de origem grega.

Isos = igual
metria = medida
Existem quatro tipo de Isometrias:

- Reflexões
- Translações
- Rotações

- Reflexão deslizante
TRANSLAÇÃO

Uma translação é uma transformação geométrica associada a um vetor que desloca a figura original, segundo uma direção, um sentido e um comprimento. A translação transforma uma figura noutra figura. As figuras são geometricamente iguais. As translações conservam a direção e o comprimento de segmentos de reta, e as amplitudes dos ângulos.

ROTAÇÃO
Numa rotação a figura inicial vai rodando em diferentes ângulos segundo um ponto central, o centro de rotação, ou seja, a figura final é obtida através de uma figura inicial, onde é mantido fixo um ponto (o centro da rotação) e todos os outros sofrem deslocações ao longo de ângulos de uma certa amplitude e em torno do ponto fixo. Pode ser positiva, quando se move ao contrário do sentido dos ponteiros do relógio, ou negativa, quando se move no mesmo sentido dos ponteiros dos relógios.

REFLEXÃO
Numa reflexão, cada ponto da figura original e o correspondente da figura refletida estão sobre uma reta perpendicular ao eixo de reflexão e a igual distância desse eixo.
REFLEXÃO DESLIZANTE
As reflexões deslizantes são a composição de uma reflexão com uma translação por meio de um vetor com a mesma direção da reta de reflexão, ou seja, uma reflexão segundo um eixo, seguida de um deslocamento com a direção desse eixo.

CONCLUSÃO
A translação, a rotação e a reflexão mantêm os comprimentos dos segmentos e as amplitudes dos ângulos, ou seja, fazem corresponder a uma figura plana outra geometricamente igual.

SIMETRIA NA NATUREZA

Simetria da Reflexão

simetria e a arte (construção)

Isometrias:exemplos

Padrão com translação horizontal e vertical. Simetria de Rotação