Números primos

Eu sou um número formado por um número primo e pelo 6 como algarismo das unidades. Também sou um quadrado perfeito. Que número sou eu? 

Sou o 36. O 3 é um número primo e o 36 é um quadrado perfeito ( 6 x 6 ou quadrado de seis ).
Para recordar:

Número primo é um número que só admite dois divisores: a unidade e o próprio número.Exemplo: 2,3,5,7,11,13,17,19,...

Número composto é um número com mais de dois divisores. Exemplo: 4, 6, 8, ....

Números inteiros relativos

Observa o seguinte gráfico cartesiano.  

a) Indica as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F.
A (-2,1)    B (-1,-1)    C (3,-1)   D (4,1)    E (1,1)    F (1,2)

b) Indica as coordenadas de dois pontos em que as suas abcissas sejam números simétricos.  

As coordenadas dos pontos B e E.

Para recordar:

Dois números simétricos são dois números com sinais contrários mas com o mesmo valor absoluto, ou seja, estão à mesma distância do 0 (zero).

Desigualdade triangular

A Ana decidiu fazer no seu jardim um canteiro em forma de triângulo. Pensou construí-lo com os seguintes comprimentos: 10 metros, 2 metros e 7 metros. Será que a Ana pode construir esse canteiro? 

Desigualdade triangular: Num triângulo o comprimento de qualquer lado é menor que a soma dos outros dois. 

Assim, 10 > 2+7. Conclui-se então que a Ana não pode construir o canteiro com essas medidas.

Volumes

Introduziu-se na proveta um paralelepípedo, que ficou completamente submerso.

As dimensões do paralelepípedo são:      

- Comprimento: 8 cm

- largura: 2 cm

- altura:  3 cm

Qual é a leitura do volume marcado na proveta?

Volume do paralelepípedo= 
8 cm x 2 cm x 3 cm= 48 cm3

leitura do volume= 60 cm3+ 48 cm3 = 108 cm3

Razão

Vamos recordar um acontecimento que estudaste em História e Geografia de Portugal.

A batalha de Aljubarrota, que se verificou no dia 14 de Agosto de 1385 foi determinante para a manutenção da independência de Portugal. Nesse dia defrontaram-se 6000 portugueses contra 30000 espanhóis. Sabes que  o exército português ganhou essa batalha, mas qual foi a razão? Ou seja cada militar português (em média) teve de enfrentar quantos militares espanhóis?

 Resolução:

30000/6000 = 5

Resposta: Cada militar português (em média) teve de enfrentar 5 militares espanhóis.
Para recordar:

Uma razão é uma forma de comparação entre dois números a e b (com  0 ≠ b ), calculando o quociente entre eles. Escreve-se  a:b ou a/b.
Na razão  a:b  ou a/b, os números a e b são os termos da razão, sendo a o antecedente e b 
o consequente.

Proporcionalidade direta

Considera a seguinte tabela que relaciona as grandezas “ número de litros de azeite comprados” e “ preço a pagar”, por que compra. 

Será o preço a pagar diretamente proporcional ao número de litros comprados? Sim. As duas grandezas (preço e o nº de litros) são diretamente proporcionais.

No caso de teres respondido afirmativamente à alínea anterior,  indica a constante de 
proporcionalidade e diz o que representa. A constante de proporcionalidade é igual a 3, ou seja, o preço de cada litro de azeite custa 3 €.

Duas grandezas x e y dizem-se diretamente proporcionais se a razão entre elas é   constante. X/Y=K onde K= constante de proporcionalidade.

Proporcionalidade

Um automóvel consome, em certo regime, 8 litros de gasolina em 100km. No mesmo regime, 
a.  Quanto consome em 120 km? 

Resolução:

8/100 = Y/120

y= 9,6 l 
Resposta: para percorrer 120 km gasta 9,6 litros de gasolina
b.  Quantos km pode percorrer com 18 litros de gasolina? 
Resolução:
8/100= 18/Y
8 x Y= 1800       Y= 1800:8= 225 km
Resposta: Com 18 litros de gasolina percorrerá 225 km.
Identidade fundamental das proporcões: O produto dos extremos é igual ao produto dos meios

Escalas

Numa maqueta dum aquário uma baleia está construída à escala de 1:80. Se o comprimento real do mamífero for 16 metros, qual é o comprimento do seu modelo?

16 m = 1600 cm
1/80= X/1600    80 x X= 1600     X= 20 cm 
Resposta: O comprimento é igual a 20 cm.

Média e Moda

Registou-se o número de palavras que oito candidatos escreveram, por minuto, na prova de 
admissão a um emprego: 

63   53   53   43   57   63   57   53 

Qual é a média, a moda? (A média obtém-se somando os valores de todos os dados e dividindo a soma pelo número de dados. A moda é o valor mais frequente de um conjunto de dados).

Média=(63+53+53+43+57+63+57+53):8= 55 palavras.

A moda é igual a 53 palavras.

Aos oito candidatos, juntou-se um outro e a média passou a ser 56. Quantas palavras 

escreveu, por minuto, o novo candidato?

Média=(63+53+53+43+57+63+57+53+a):9= 

56=(63+53+53+43+57+63+57+53+a):9

504= 442+a

a=62 palavras

R: O novo candidato escreveu 62 palavras

Problema: m.m.c

Três faróis acenderam ao mesmo tempo num determinado momento. Um deles acende de 10 em 10 segundos, outro de 12 em 12 e o outro de 15 em 15.  
Quanto tempo depois voltam a acender os três faróis ao mesmo tempo?  
Vamos calcular o m.m.c (10,12,15) através da decomposição em fatores primos.

O mínimo múltiplo comum é igual ao produto dos fatores primos comuns e não comuns ( com maior expoente).

Ângulos internos e externos do triângulo

A figura seguinte representa um ∆[ABC] 

Com se designa o ângulo BCD e relação ao triângulo [ABC]? É um ângulo obtuso e é um ângulo externo do triângulo ∆[ABC].

Calcula a amplitude do ângulo ACB. (O ângulo externo, é um prolongamento de um dos lados e forma um ângulo de 180º, dividido entre ângulo interno + ângulo externo). 

Assim a amplitude do ângulo ACB=180º-140= 40º

Indica a soma das amplitudes dos ângulos CAB com ABC. (A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º). 

Resposta: 180º-40º=140º (Todo o ângulo externo de um triângulo é igual à soma das amplitudes dos outros dois ângulos internos não adjacentes ao mesmo).

A soma das amplitudes dos ângulos CAB com ABC= à amplitude do ângulo BCD

Conceitos: Estatística

Censo: É um estudo de todos os elementos de uma população (com o propósito de adquirir conhecimentos, observando todos os seus elementos, e fazer juízos quantitativos acerca de características importantes desse universo).

Sondagem: É um estudo da população com o objetivo de melhor conhecer atitudes, hábitos e preferências, relativamente a acontecimentos, circunstâncias e assuntos de interesse comum.   

População: Conjunto de elementos com uma característica comum sobre a qual incide o estudo.

Amostra: É uma parte da população; os elementos que a compõem devem ser escolhidos de modo que a amostra represente o mais fielmente possível a população em estudo.

Frequência Absoluta de um dado ou acontecimento é o número de vezes que esse acontecimento ou dado se repete.  

Frequência Relativa: Obtém – se dividindo a frequência absoluta desse dado pelo número total de dados.

Variáveis Quantitativas: são as características que podem ser medidas em uma escala quantitativa, ou seja, apresentam valores numéricos que fazem sentido. Podem ser contínuas ou discretas.

Variáveis discretas: características mensuráveis que podem assumir apenas um número finito ou infinito contável de valores e, assim, somente fazem sentido valores inteiros. Geralmente são o resultado de contagens. Exemplos: número de filhos, número de bactérias por litro de leite, número de cigarros fumados por dia.

Variáveis contínuas, características mensuráveis que assumem valores em uma escala contínua (na reta real), para as quais valores fracionais fazem sentido. Usualmente devem ser medidas através de algum instrumento. Exemplos: peso (balança), altura (régua), tempo (relógio), pressão arterial, ...

Média de um conjunto de dados numéricos obtém-se somando os valores de todos os dados e dividindo a soma pelo número de dados

Moda é o valor mais frequente de um conjunto de dados. 

Amplitude - Diferença entre o valor máximo e  mínimo das variáveis estatísticas.

Problema: Estatística

Inquiriram-se 200 adolescentes acerca do seu desporto favorito. Os resultados encontram-se no seguinte gráfico circular: 

Qual o desporto preferido por menos adolescentes?  Hóquei

Quantos jovens preferem Natação? 

200 ____________ 100%

x    ____________ 17%          X= (200x17)x100= 34 jovens preferem Natação.

Determine a amplitude do ângulo do setor circular correspondente ao Hóquei.

360º ______________100%
x     ______________ 5%         x= (360ºx5):100 = 18º (amplitude do ângulo do setor circular)

Problema:Estatística

Foi realizado um inquérito nas turmas de MACS do 10º ano da Escola Secundária Quinta das Flores com o objetivo de estudar determinadas características. Uma das características estudadas foi a idade dos alunos e os resultados obtidos encontram-se no seguinte gráfico: 

Qual é população em estudo? Os alunos do 10º ano da Escola Secundária Quinta das Flores.

Identifica a variável em estudo e classifica-a. A variável em estudo é a idade dos alunos. Variável quantitativa discreta ( anos completos ).

Qual a média de idades dos alunos de MACS? 

1x14+13x15+14x16+3x17+2x18/33=15,8 (aproximadamente 16)

Problema:Mínimo múltiplo comum

O Diogo tem uma pista e dois automóveis. Um dos carros leva 6 segundos a dar uma volta completa à pista, enquanto o outro leva 9 segundos. Se partirem juntos, quanto tempo levarão a encontrar-se novamente no ponto de partida? Quantas voltas teria dado cada um?

m.m.c (6,9)= 2x3x3=18 (encontram ao fim dos 18 segundos)

6= 2x3

9= 3x3 

18:6= 3 voltas

18:9= 2 voltas

Problema: Números inteiros relativos

O Diogo esteve a jogar no computador e a contagem era em pontos. Em dez jogadas aconteceu o seguinte: perdeu 5, ganhou 18, perdeu 12, ganhou 7, ganhou 12, perdeu 2, perdeu 5, perdeu 7, ganhou 13 e ganhou 7. Qual foi a pontuação final do Diogo? 

-5+18-12+7+12-2-5-7+13+7= -31 + 57 = 26 

Resposta: A pontuação final do Diogo foi igual a 26.

Sequências

Considera a sequência geométrica que se  segue, onde estão representados os quatro primeiros termos: 

Determina o 6º termo da sequência e indica o termo geral ou termo de ordem n da sequência. ( lei de formação, ao número anterior somasse sempre 2). O 6º termo da sequência é igual a 14. O termo geral ou termo de ordem n da sequência é: 2n+ 2 ( 2xn+2)

Problema: frações

Para comemorar o Carnaval, o Timóteo decidiu organizar um baile de máscaras. Um quarto dos amigos foram mascarados de super herói, dois quintos foram mascarados de palhaço e os restantes foram mascarados de pirata. Qual a fracção que representa o número de amigos que foram mascarados de pirata? 

1 - ( 1/4 + 2/5)=    ( temos de reduzir ao mesmo denominador, ou seja calcular o m.m.c(4,5)=20

=1- ( 5/20 + 8/20)=

=1- 13/20=  

= 7/20  

Problema: Escalas e Áreas

A janela do quarto do Artur tem as dimensões indicadas na figura. O Artur desenhou no seu caderno a janela do seu quarto na escala de 1:20. Que área do seu caderno ocupa o desenho da janela?

1,00 m = 100 cm    e  1,30 m = 130 cm


1/20= x/100     x= (1x100):20 = 5 cm ( altura da janela no caderno)
1/20= x/130     x= (1x130):20 = 6,5 cm ( comprimento da janela no caderno)
Area do retângulo = b x a       A= 6,5 cm x 5 cm = 32,5 cm2

Problema: perímetros

Calcula o perímetro da figura sabendo que os elementos A, B e C são quadrados, com as seguintes áreas:
A= 25 cm2 ; B= 49 cm2 e C= 9 cm2

PA= 5 cm ( 5cm x 5 cm ) ; PB= 7 cm ( 7 cm x 7 cm ) e PC= 3 cm ( 3cm x 3 cm )
Perímetro da figura=  3 x 5cm + 3 x 3cm + 4cm + 2 x 7 cm + 2cm= 44 cm

O Sr. Silva tem um terreno quadrado, com 729 m2 de área. Será que 105 m de rede são suficientes para vedar todo o terreno?Justifica a tua resposta.


Área do quadrado = lxl
Área do quadrado = 729 m2

A = 27 x 27 = 729 m2 (quadrado perfeito)

lado do quadrado = 27 m
Perímetro do quadrado = 4 x 27=108 m
Resposta: Não, são necessários mais 3 metros de rede.

Escalas

O Timóteo foi visitar um amigo a Penafiel. A distância de entre a sua casa e Penafiel é de 63 Km. O Timóteo apressou-se a consultar um mapa e constatou que no mapa a distância entre a sua casa e Penafiel era de 6 cm. Qual era a escala do mapa? 

63km= 6300000

1/x=6/6300000

x= 6300000:6

x=1050000

Resposta: A escala é 1: 1 050 000

Percentagens

O  Timóteo  comprou uma camisa e um par de calças de loja da Srª Albertina decidiu fazer a seguinte promoção: Quanto pagou o  Timóteo pelas duas peças de roupa, atendendo à promoção realizada na loja da Srª Albertina? 

80% x 70€ = 56€ ( calças )

70% x 50€ = 35€ ( camisa)

56€ + 35€ =  91€

Pagou 91€ pelas duas peças

Divisores de um número

O professor de Matemática do Timóteo, Tibúrcio, Tobias e Teotónio apresentou o número A como um produto de factores primos e perguntou: “ quantos divisores tem o número A? ”. As respostas dos quatro amigos foram as seguintes:  

Timóteo: tem 6 divisores;  Tibúrcio: tem 3 divisores;  

Tobias: tem 8 divisores;  Teotónio: tem 4 divisores.

Qual dos amigos tem razão? 

O Tobias, porque A=30

D30={1,2,3,5,6,10,15,30}

Triângulos: ângulos internos e externos

Observa a figura:

Calcula x e y. Apresenta todos os cálculos. 


x= 180º - 134º
x= 46º
y= 180º - (75º+46º)
y= 59º